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设f(x)在区间[a,b]上连续,f(x),g(x)在区间[a,b]上可积且不变号.证明:至少存在一点ξ∈[a,b],使等式成立.
设f(x)在区间[a,b]上连续,f(x),g(x)在区间[a,b]上可积且不变号.证明:至少存在一点ξ∈[a,b],使等式成立.
admin
2020-05-02
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问题
设f(x)在区间[a,b]上连续,f(x),g(x)在区间[a,b]上可积且不变号.证明:至少存在一点ξ∈[a,b],使等式
成立.
选项
答案
由于f(x)在区间[a,6]上连续,g(x)在区间[a,b]上可积且不变号,设M,m分别是f(x)在区间[a,6]上的最大值和最小值,g(x)≥0,[*]于是 mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x) 又由定积分的保号性,得 [*] 若I=0,则[*]故对任意ξ∈[a,b],都有 [*] 若I≠0,则I>0,因此得 [*] 又由连续函数在闭区间上的介值性定理知,至少存在一点ξ∈[a,b],使得 [*] 即 [*]
解析
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考研数学一
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