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设β1，β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1、α2是导出组Ax=0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax=b的通解是：
设β1，β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1、α2是导出组Ax=0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax=b的通解是：
admin
2016-07-31
75
问题
设β
1
，β
2
是线性方程组Ax=b的两个不同的解，α
1
、α
2
是导出组Ax=0的基础解系，k
1
、k
2
是任意常数，则Ax=b的通解是：
选项
A、
+k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)
B、α
1
+k
1
(β
1
-β
2
)+k
2
(α
1
-α
2
)
C、
+k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)
D、
+k
1
α
1
+k
2
(β
1
-β
2
)
答案
C
解析
非齐次方程组的通解y=y(齐次方程的通解)+y
*
(非齐次方程的一个特解)，可验证
(β
1
+β
2
)是Ax=b的一个特解。
因为β
1
，β
2
是线性方程组Ax=b的两个不同的解
又已知α
1
，α
2
为导出组Ax=0的基础解系，可知α
1
，α
2
是Ax=0解，同样可验证α
1
-α
2
也是Ax=0的解，A(α
1
-α
2
)=Aα
1
-Aα
2
=0-0=0。
还可验证α
1
，α
1
-α
2
线性无关。
设有任意两个实数K
11
，K
22
使K
11
α
1
+K
22
(α
1
-α
2
)=0，即(K
11
+K
22
)α
1
-K
22
α
2
=0，
因α
1
，α
2
线性无关，所以α
1
，α
2
的系数，K
11
+K
22
=0，-K
22
=0。
即
解得K
11
=0，K
22
=0；因此α
1
，α
1
-α
2
线性无关。
故齐次方程组Ax=0的通解为y=K
1
α
1
+K
2
(α
1
-α
2
)。
又y
*
=
(β
1
+β
2
)是Ax=b的一个特解；
所以Ax=b的通解为y=
+K
1
α
1
+K
2
(α
1
-α
2
)。
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