从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面涂色,每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有( )种.

admin2016-07-25  42

问题 从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面涂色,每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有(    )种.

选项 A、120
B、240
C、320
D、480
E、600

答案C

解析 显然,至少需要三种颜色,分成以下几类:
  (1)用6种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有5种选择,在上、下底已涂好后,再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面,则其余3个面有3!种涂色方案,根据乘法原理,得
    n1=5×3!=30;
  (2)共用五种颜色,选定五种颜色有C65=6种方法,必有两面同色(必为相对面),确定为上、下底面,其颜色可有5种选择,再确定一种颜色为左侧面,则其余3个面有3 1种涂色方案,根据乘法原理,得
    n2=C65×5×3!=180;
  (3)共用四种颜色,选定4种颜色有C64种方法,从4种颜色中选2种颜色作为重复使用的颜色C42,同色的面为两组相对面,只有1种方法,不同色的面作为另外一组相对面,只有1种方法,根据乘法原理,得
    n3=C64C42×1×1=90;
  (4)共用三种颜色,选定3种颜色有C63种方法,作为3组相对面,只有1种方法,故n4=C63=20;
  总的涂色方案有30+180+90+20=320(种).
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