某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)。汽锤第一次击打将桩打进地下a米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功

admin2017-01-14 37

问题某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)。汽锤第一次击打将桩打进地下a米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)。问
(Ⅰ)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?
(Ⅱ)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?

选项

答案(Ⅰ)设第n次击打后，桩被打进地下x_n米，第n次击打时，汽锤所做的功为W_n(n=1，2，3，…)。由题设，当桩被打进地下的深度为x米时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以 [*] 由W₂=rW₁可得 [*] 由W₃=rW₂=r²W₁可得 [*] 即汽锤击打3次后，可将桩打进地下[*]米。 (Ⅱ)由归纳法，设[*]，则 [*] 由于W_n+1=rW_n=r²W_n-1=…=rⁿW₁，故 [*] 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下[*]米。

解析

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考研数学一

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