设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．

admin2017-07-10 97

问题设函数f(x)连续，且∫₀^xtf(2x一t)dt=

已知f(1)=1，求∫₁²f(x)dx的值．

选项

答案令u=2x—t，则t=2x一u,，dt=一du，则 ∫₀^xtf(2x-t)dt=-∫_2x^x(2x-u)f(u)du=2x∫_x^2xdu-∫_x^2xuf(u)du, 于是 2x∫_x^2xf(u)du-∫_x^2xuf(u)du=[*] 两边对x求导，得2 ∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-[2xf(2x).2一xf(x)]=[*]，即 [*]

解析

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考研数学二

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交换二次积分的积分次序：
因为y＝ex在实数域内严格单调增加，又在区间[－2，－1]上1≤－x3≤8，－8≤x3≤－1，所以在区间[－2，－1]上e≤e－x3≤e8，e－8≤ex3≤e－1＜e，由定积分的性质知[*]
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