2. 考研
  3. 设F(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)内有且仅有一个实根．

设F(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)内有且仅有一个实根．

admin2021-11-09  52
问题 设F(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)内有且仅有一个实根．
选项
答案令φ(χ)＝2χ－∫0χf(t)dt－1， φ(0)＝－1，φ(1)＝1－∫01f(t)dt 由f(χ)＜1得∫01f(t)dt＜1，从而φ(1)＝1－∫01f(t)dt＞0， 由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0，即方程2χ－∫0χf(t)dt＝1至少有一个实根． 因为φ′(χ)＝2－f(χ)＞0，所以φ(χ)在[0，1]上严格递增，故2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)内有且仅有一个实根．
解析
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考研数学二

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