设A为n(n≥2)阶方阵，证明r(A)=

admin2015-07-10 99

问题设A为n(n≥2)阶方阵，证明r(A)=

选项

答案(1)当r(A)=n时，|A|≠0，故由|A*|=|A|^n-1≠0，知r(A*)=n (2)当r(A)=n一1时，A中的非零子式最高阶为n一1，故一方面|A|=0，另一方面A*≠0，由|A|=0可知A*A=|A|E=0，因此矩阵A的每一列都是齐次线性方程组A*x=0的解向量。因为r(A)=n一1，知A的列向量组中有n一1个是线性无关的，故方程组A^*x=0的基础解析不少于n 一1个，即n—r(A*)≥n—1，即地道r(A*)≤1；又由A*≠0得r(A*)≥1。综上r(A*)=1 (3)当r(A)＜n一1时，则A的n一1阶子式全为0，即A的每个元素的余子式都为0，从而有r(A*)=0。

解析

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