设f(x)为[0，1]上的连续函数，试证eyf(x)dx=∫01(e-ex2)f(x)dx。

admin2015-06-14 39

问题设f(x)为[0，1]上的连续函数，试证

e^yf(x)dx=∫₀¹(e-e^x²)f(x)dx。

选项

答案由于二重积分区域D可以表示为：0≤y≤1，0≤x≤[*]，其图形如图阴影部分所示。 [*] 如果换为先对y积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y=x²，出口曲线为y=1，因此x²≤y≤1，在区域D中0≤x≤1，因此 [*] 原等式成立。

解析本题实际上是一道交换积分次序的题，对左式可先根据x的积分限画出积分区域D的草图，再由草图所示转化为先对y积分，求出后即得右式。

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