设y(x)是微分方程y’’+(x+1)y’+x2y=ex的满足y(0)=0，y’(0)=1的解，并设存在且不为零，则正整数k=，该极限值=．

admin2019-02-21 55

问题设y(x)是微分方程y’’+(x+1)y’+x²y=e^x的满足y(0)=0，y’(0)=1的解，并设

存在且不为零，则正整数k=______，该极限值=______．

选项

答案[*]

解析由y(0)=0知，所求极限为

型．

由初始条件y’(0)=1，若k=1，则上述极限为0，不符，故k≥2．

但y’’(0)=[e^x－(x+1)y’－x²y]｜_x=0=0，若k=2，则上式极限为0，不符．故k≥3．

但y’’(0)=[(e^x－(x+1)y’－x²y)’]｜_x=0=[e^x－y’－(x+1)y’’－2xy－x²y’]｜_x=0=0，若k=3，
则上式极限为0，不符，故k≥4．

又y⁽⁴⁾(0)=[e^x－y’’－y’’－(x+1)y’’’－2y－4xy’－x²y’’]｜_x=0=1，故知当k=4时，

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考研数学一

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