设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩为2． (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形．

admin2019-08-23 92

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝(a－1)χ₁²＋(a－1)χ₂²＋2χ₃²＋2χ₁χ₂(a＞0)的秩为2．
(1)求a；
(2)用正交变换法化二次型为标准形．

选项

答案(1)A＝[*]，因为二次型的秩为2，所以r(A)＝2，从而a＝2． (2)A＝[*]，由｜λE－A｜＝0得λ₁＝λ₂＝2，λ₃＝0．当λ＝2时，由(2E－A)X＝0得λ＝2对应的线性无关的特征向量为α₁＝[*]，α₂＝[*]；当λ＝0时，由(0E－A)X＝0得λ＝0对应的线性无关的特征向量为α₃＝[*]．因为α₁，α₂两两正交，单位化得 [*] 则f＝X^TAX[*]Y^T(Q^TAQ)Y＝2y₁²＋2y₂²．

解析

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