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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=(a-1)χ12+(a-1)χ22+2χ32+2χ1χ2(a>0)的秩为2. (1)求a; (2)用正交变换法化二次型为标准形.
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=(a-1)χ12+(a-1)χ22+2χ32+2χ1χ2(a>0)的秩为2. (1)求a; (2)用正交变换法化二次型为标准形.
admin
2019-08-23
92
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=(a-1)χ
1
2
+(a-1)χ
2
2
+2χ
3
2
+2χ
1
χ
2
(a>0)的秩为2.
(1)求a;
(2)用正交变换法化二次型为标准形.
选项
答案
(1)A=[*],因为二次型的秩为2,所以r(A)=2,从而a=2. (2)A=[*],由|λE-A|=0得λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 当λ=2时,由(2E-A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α
1
=[*],α
2
=[*]; 当λ=0时,由(0E-A)X=0得λ=0对应的线性无关的特征向量为α
3
=[*]. 因为α
1
,α
2
两两正交,单位化得 [*] 则f=X
T
AX[*]Y
T
(Q
T
AQ)Y=2y
1
2
+2y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vbA4777K
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考研数学二
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