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(1998年)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 (I)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积; (Ⅱ)又设f(x)在区间(0,1
(1998年)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 (I)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积; (Ⅱ)又设f(x)在区间(0,1
admin
2021-01-15
29
问题
(1998年)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。
(I)试证存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积等于在区间[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积;
(Ⅱ)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且
证明(I)中的x
0
是唯一的。
选项
答案
(I)要证存在x
0
∈(0,1),使 [*] 令[*]然后证明存在x
0
∈(0,1),使φ(x
0
)=0。可以对φ(x)的原函数Φ(x)=[*]使用罗尔定理: Φ(0)=0, [*] 又由f(x)在[0,1]连续[*]φ(x)在[0,1]连续,故Φ(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导。根据罗尔定理,存在x
0
∈(0,1),使Φ′(x
0
)=φ(x
0
)=0。 (Ⅱ)由φ′(x)=xf′(x)+f(x)+f(x)=xf′(x)+2f(x)>0,知φ(x)在(0,1)内单调增,故(I)中的x
0
是唯一的。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vhq4777K
0
考研数学一
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