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已知n维列向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr(r＜n)线性无关，则n维列向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βr线性无关的充分必要条件为( )
已知n维列向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr(r＜n)线性无关，则n维列向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βr线性无关的充分必要条件为( )
admin
2019-03-23
42
问题
已知n维列向量组(Ⅰ)：α
1
，α
2
，…，α
r
(r＜n)线性无关，则n维列向量组(Ⅱ)：β
1
，β
2
，…，β
r
线性无关的充分必要条件为( )
选项
A、β
1
，β
2
，…，β
r
可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表示。
B、α
1
，α
2
，…，α
r
可由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表示。
C、α
1
，α
2
，…，α
r
和β
1
，β
2
，…，β
r
等价。
D、矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
r
)与B=(β
1
，β
2
，…，β
r
)等价。
答案
D
解析
对于选项A，由已知条件只能得出R(Ⅱ)≤R(Ⅰ)=r，但不能得出R(Ⅱ)=R(Ⅰ)=r，故A项不正确。
对于选项B，由已知条件知r=R(Ⅰ)≤R(Ⅱ)≤r，于是R(Ⅱ)=r，即β
1
，β
2
，…，β
r
线性无关。因而B项是充分条件。但若β
1
，β
2
，…，β
r
线性无关，是不能得出α
1
，α
2
，…，α
r
可由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表出的结论。例如，(Ⅰ)：e
1
=(1，0，0)
T
，e
2
=(0，1，0)
T
；(Ⅱ)：e
2
=(0，1，0)
T
，e
3
=(0，0，1)
T
，(Ⅰ)(Ⅱ)均线性无关，但(Ⅰ)不可由(Ⅱ)线性表出，故B项错误。
对于选项C，由于B项不是必要条件，则C项就不可能是必要条件。
对于选项D，注意到两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等，由题设知R(A)=R(Ⅰ)=r，则A与B等价
β
1
，β
2
，…，β
r
线性无关，所以D选项是正确的，故选D。
本题主要考查的是向量组等价的相关问题。根据线性表示的向量组之间秩的关系能快速排除A、B选项，但C、D选项具有一定的迷惑性，需要充分认识矩阵等价与向量组等价的异同点：
①等价的向量组有相等的秩，等价的矩阵也有相等的秩；
②有相等秩的两个同型矩阵必等价，但有相等秩的两个同维向量组未必等价(如果其中一组还可由另一组线性表出，则必等价)。
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考研数学二
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