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  3. 设z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

设z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

admin2020-05-02  28
问题 设z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．
选项
答案方法一 令F(x，y，z)=x2－6xy+10y2－2yz－z2+18，则 Fx=2x－6y，Fy=－6x+20y－2z，Fz=－2y－2z 于是 [*] 由[*]得x=3y，z=y，将其代入x2－6xy+10y2－2yz－z2+18=0可得驻点为(9，3)和(－9，－3)． 又 [*] 在点(9，3)处，[*]且[*]所以此函数在点(9，3)处取得极小值为z(9，3)=3； 在点(－9，－3)处，[*]且[*]所以此函数在点(－9，－3)处取得极大值为z(－9，－3)=－3． 方法二 由原方程可得(x－3y)2+(y－z)2+2z2－18=0，即 2z2－18=(x－3y)2+(y－z)2≥0 于是 z≥3或z≤－3 将z=3代入方程x2－6xy+10y2－2yz－z2+18=0，可得x=9，y=3．故函数z=z(x，y)在点(9，3)处取得极小值为z(9，3)=3． 类似地，函数z=z(x，y)在点(－9，－3)处取得极大值为z(－9，－3)=一3．
解析
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考研数学一

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