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设f(x)在[0,1]连续,且f(0)=f(1),证明:在[0,1]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+),
设f(x)在[0,1]连续,且f(0)=f(1),证明:在[0,1]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+),
admin
2017-05-18
60
问题
设f(x)在[0,1]连续,且f(0)=f(1),证明:在[0,1]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+
),
选项
答案
即证:F(x)[*]在[0,1]存在零点.因f(x)在[0,1]连续,所以F(x)=f(x)-f(x+[*]连续. 事实上,我们要证:F(x)在[0,1[*]]存在零点(只需证F(x)在[0,1[*]]有两点异号).考察 [*] 则 f(0)+F[*]=f(0)-f(1)=0. 于是F(0),[*]中或全为0,或至少有两个值是异号的,于是由连续函数介值定理,[*]ξ∈[0,1-[*]],使得F(ξ)=0,即f(ξ)=f(ξ+[*]).
解析
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考研数学一
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