2. 公务员
  3. 数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数fn(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 (1)当a=0时，求通项an； (2)是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数fn(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 (1)当a=0时，求通项an； (2)是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

admin2016-01-31  43
问题 数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数fn(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。
(1)当a=0时，求通项an；
(2)是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
选项
答案易知f’n(x)=x2-(3an+nn)x+3n2an=(x-3an)(x-n2)，令f’n(x)=0， 得x1=3an，x2=n2。 ①若3an＜n2，则当x＜3an时，f’n(x)＞0，fn(x)单调递增； 当3an＜x＜f’n时，f’n(x)＜0，fn(x)单调递减； 当x＞n2时，f’n(x)＞0，fn(x)单调递增。 故fn(x)在x=n2处取得极小值。 ②若3an＞n2，仿①可得，fn(x)在x=3an处取得极小值。 ③若3an=n2，则f’n(x)≥0，fn(x)无极值。 (1)当a=0时，a1=0，则3a1＜12，由①知，a2=12=1。 因3a2=3＜22，则由①知，a3=22=4。 因为3a3=12＞32，则由②知，a4=3a3=3×4。 又因为3a4=36＞42，则由②知，a5=3a4=32×4。 由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3。 下面用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2。 事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立。 假设当n=k(k≥3)时，3ak＞k2成立，则由②可得，ak+1=3ak＞k2，从而3ak+1-(k+1)2＞3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1＞0，所以3ak+1＞(k+1)2。 故当2≥3时，3an＞n2成立。 于是由②知，当n≥3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=4×3n-3。 综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n-3(n≥3)。 (2)存在a，使数列{an}是等比数列。 事实上，由②知，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an，即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a．3n-1。 而要使3an＞n2，即a．3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需a＞[*]对一切n∈N*都成立。 [*] 当a=[*]，而3a2=4=22，由③知，f2(x)无极值，不合题意。 当[*]时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{an}不是等比数列。 当a=1/3时，3a=1=12，由③知，f1(x)无极值，不合题意。 当a＜1/3时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，…数列{an}不是等比数列。 综上所述，存在a1，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为([*]，+∞)。
解析
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