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已知圆x2+y2-2z-2y+7/4=0上的点到直线ax+by+2=0(a>-2,b>-2)距离的最小值为1/2,则a+b的最小值是( ).
已知圆x2+y2-2z-2y+7/4=0上的点到直线ax+by+2=0(a>-2,b>-2)距离的最小值为1/2,则a+b的最小值是( ).
admin
2019-12-10
74
问题
已知圆x
2
+y
2
-2z-2y+7/4=0上的点到直线ax+by+2=0(a>-2,b>-2)距离的最小值为1/2,则a+b的最小值是( ).
选项
A、4
B、2
+4
C、2
-4
D、2
-4
答案
C
解析
已知圆的方程可化简为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1/4,即该圆的圆心坐标为(1,1),半径为1/2.又因为圆上的点到直线的最短距离为1/2>0,则直线与圆无交点,过圆心C作这条直线的垂线CE,交圆于F,如图所示,EF的长即为最短距离.则EF=1/2,又CF=1/2,故
,则
,化简即为(a+b+2)
2
=a
2
+b
2
,整理得ab+2a+2b+2=0,ab=-2a-2b-2.根据均值不等式可知,
,两边同时平方后化简可得
,当且仅当a=b,即a
2
=-4a-2时“=”成立,即
.故a+b的最小值为
.
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