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[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

admin2019-05-10  21
问题 [2008年]  设n元线性方程组AX=b，其中

当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
选项
答案解一 当(n+1)an=0即a=0时，此时增广矩阵[*]和系数矩阵的秩均为n一1＜n， 故方程组有无穷多组解，且 [*]① [*]是含最高阶单位矩阵的矩阵．因n一秩(A)=1，故对应的齐次方程组的基础解系只含一个解向量．由基础解系和特解的简便求法，得基础解系和特征分别为 α=[1，0，0，…，0]T， η=[0，l，0，…，0]T， 故AX=b的通解为X=kα+η，k为任意常数． 解二 因秩(A)=秩([*])=n—1，故∣A∣=(n+1)an=0．因而a=0时方程组有无穷多组解．由解一中的式①知，AX=0的同解方程组为[*]自由变量为x1．取x1=1，则其基础解系为α=[1，0，…，0]T，AX=0的通解为kα，k为任意常数． 又由AX=b的同解方程组为[*]满足上方程，故其特解为η=[0，1，0，…，0]T或在同解方程组[*]中令自由变量x1=0，也可得到η，所以AX=b的通解为k[1，0，…，0]T+[0，1，0，…，0]T，k为任意常数．
解析
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考研数学二

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