已知高温物体置于低温介质中，任一时刻，该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比．现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30 min后，该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?

admin2022-01-17 87

问题已知高温物体置于低温介质中，任一时刻，该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比．现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30 min后，该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?

选项

答案设t时刻物体温度为y(t)，比例常数为k(k＞0)，介质温度为m，则 dy/dt=-k(y-m) 从而y(t)=Ce^-kt+m，而y(0)=120，m=20，则c=100，即y(t)=100e^-kt+20．又y(30)=30，所以k=ln 10/30，即 [*] 当y(t)=21时，t=60．所以还需要30分钟．

解析【思路探索】首先根据题设条件建立微分方程，然后解该微分方程得其通解；由定解条件进一步可得特解，也即问题得到解决．

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考研数学二

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