已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2019-03-21 52

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为

(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由条件知，A的特征值为1，1，0，且ξ=(1，0，1)^T为A的属于特征值0的一个特征向量．设A的属于特征值1的特征向量为x=(x₁，x₂，x₃)^T，则ξ⊥x，得x₁+x₃=0，取A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量为[*](1，0，-1)^T、(0，1，0)^T．得正交矩阵Q=[*]，则有Q^TAQ=diag(1，1，0)，故 A=Qdiag(1，1，0)^TQ=[*] (Ⅱ)A+E的特征值为2，2，1都大于零，且A+E为实对称矩阵，所以A+E为正定矩阵.

解析

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考研数学二

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已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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