2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα-2A2α-A3α=0，令矩阵P=[α，Aα，A2α]， (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．

设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα-2A2α-A3α=0，令矩阵P=[α，Aα，A2α]， (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．

admin2020-03-16  39
问题 设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα-2A2α-A3α=0，令矩阵P=[α，Aα，A2α]，
(1)求矩阵B，使AP=PB；
(2)证明A相似于对角矩阵．
选项
答案(1)AP=A[α，Aα，A2α]=[Aα，A2α，A3α]=[Aα，A2α，3Aα-2A2α] =[α，Aα，A2α][*]=PB，其中B=[*]. (2)由(1)有AP=PB，因P可逆，得P-1AP=B，即A与B相似，易求出B的特征值为0，1，-3，故A的特征值亦为0，1，-3，A2×3有3个互不相同特征值，因此A相似于对角阵．
解析
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考研数学二

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