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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得
admin
2021-11-25
51
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得
选项
答案
令ψ(x)=(x-1)
2
f’(x),显然ψ(x)在[0,1]上可导,由f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得f’(c)=0,再由ψ(c)=ψ(1)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(c,1)[*](0,1),使得ψ’(ξ)=0,而ψ‘(x)=2(x-1)f’(x)+(x-1)
2
f"(x),所以2(ξ-1)f’(ξ)+(ξ-1)
2
f"(ξ)=0,整理得[*].
解析
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考研数学二
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