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已知函数f(x,y)满足fxy(x,y)=2(y+1)ex,fx(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值.
已知函数f(x,y)满足fxy(x,y)=2(y+1)ex,fx(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值.
admin
2020-05-02
26
问题
已知函数f(x,y)满足f
xy
(x,y)=2(y+1)e
x
,f
x
(x,0)=(x+1)e
x
,f(0,y)=y
2
+2y,求f(x,y)的极值.
选项
答案
等式f
xy
(x,y)=2(y+1)e
x
两边对y积分,得 [*] 再由已知条件f
x
(x,0)=(x+1)e
x
,可得f
x
(x,0)=φ(x)=(x+1)e
x
,即φ(x)=e
x
(x+1),从而f
x
(x,0)=φ(x)=(x+1)e
x
.因此可求得 f
x
(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+e
x
(1+x) 上式两边关于x积分,得 [*] 由f(0,y)=y
2
+2y+C(y)=y
2
+2y,求得C(y)=0.所以f(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+xe
x
.令 [*] 求得x=0,y=-1.又f
xx
=(y
2
+2y)e
x
+2e
x
+xe
x
,f
xy
=2(y+1)e
x
,f
yy
=2e
x
,当x=0,y=-1时,A=f
xx
(0,-1)=1,B=f
xy
(0,-1)=0,C=f
yy
(0,-1)=2,AC—B
2
>0,因此,f(0,-1)=-1为极小值.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yLv4777K
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考研数学一
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