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  3. [2010年] 计算二重积分 I=drdθ， 其中D={(r，θ)∣0≤r≤secθ，0≤θ≤π／4)．

[2010年] 计算二重积分 I=drdθ， 其中D={(r，θ)∣0≤r≤secθ，0≤θ≤π／4)．

admin2019-05-10  95
问题 [2010年]  计算二重积分
I=drdθ，
其中D={(r，θ)∣0≤r≤secθ，0≤θ≤π／4)．
选项
答案本题的被积函数及积分区域不适合在极坐标系下求二重积分，而适合在直角坐标系下求解，故应转化为直角坐标系求之．为此正确写出直角坐标系下的积分区域D的表示式，然后化为累次积分求解． [*] 其中，区域D在直角坐标系中的表示式为D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤x}(见图1．5．3．6)．这是因为r=secθ时，x=rcosθ=1，故0≤x≤1．而当0≤θ≤π／4时，y=rsinθ≤x=rcosθ；当θ=π／4时，y=x，故0≤y≤x． 所以 I=∫01dx∫0xy[*]dy=∫01dx∫0x[*](1－x2+y2) =∫01[*][1－(1－x2)3/2]dx=∫01[*]∫0x(1－x2)3/2dx 而 ∫01(1－x2)3/2dx[*]∫0π/2(1一sinx2)3/2dsint=∫0π/2cos3xcosxdx =∫0π/2cos4xdx=[*], 故I=[*].
解析
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考研数学二

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