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设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数. (Ⅰ)设当h>0,(x0-h)∈U,(x0+h)∈U,恒有 (*) 证明f"(x0)≥0; (Ⅱ)如果f"(x0)>0,证明必存在h>0,(x0-h)∈U,(x0+h)∈U,使(*
设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数. (Ⅰ)设当h>0,(x0-h)∈U,(x0+h)∈U,恒有 (*) 证明f"(x0)≥0; (Ⅱ)如果f"(x0)>0,证明必存在h>0,(x0-h)∈U,(x0+h)∈U,使(*
admin
2020-03-08
27
问题
设函数f(x)在x=x
0
的某邻域U内存在连续的二阶导数.
(Ⅰ)设当h>0,(x
0
-h)∈U,(x
0
+h)∈U,恒有
(*)
证明f"(x
0
)≥0;
(Ⅱ)如果f"(x
0
)>0,证明必存在h>0,(x
0
-h)∈U,(x
0
+h)∈U,使(*)式成立.
选项
答案
(Ⅰ)由条件,当h>0充分小,(x
0
±h)∈U,有 f(x
0
+h)-f(x
0
)+f(x
0
-h)-f(x
0
)>0. 则由拉格朗日中值定理,有 f'(ξ
2
)h+f'(ξ
1
)(-h)>0, 其中x
0
-h<ξ
1
)<x
0
<ξ
2
<x
0
+h.又因为h>0,得 f'(ξ
2
)-f'(ξ
1
)>0. 再在区间[ξ
1
,ξ
2
]上用拉格朗日中值定理,有 f"(ξ)(ξ
2
-ξ
1
)>0, 其中x
0
-h<ξ
1
<ξ<ξ
2
<x
0
+h.由此推得f"(ξ)>0.再令h→0,得ξ→x
0
,并且得 f"(x
0
)≥0. 证毕. (Ⅱ)由题设f"(x)在x=x
0
的邻域U内连续,且f"(x
0
)>0,故存在h>0,使[*]且在区间[x
0
-h,x
0
+h]内f"(x)>0.将f(x)按(x-x
0
)的幂展开的泰勒公式,有 [*] 其中ξ∈(x,x
0
)(或(x
0
,x)),x∈[x
0
-h,x
0
+h],x≠x
0
.取.x=(x
0
+h)∈U,得 f(x0+h)>f(x
0
)+f'(x
0
)h; 取x=(x
0
-h)∈U,得 f(x
0
-h)>f(x
0
)-f'(x
0
)h. 从而有 f(x
0
+h)+f(x
0
—h)>2f(x
0
), 即[*],故(*)式成立.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yvS4777K
0
考研数学一
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