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设f(χ)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3). 证明:(1)存在ξ1,ξ2∈(0,3),使得f′(ξ1)=f′(ξ2)=0. (2)存在ξ∈(0,3),使得f〞(ξ)-2f′(ξ
设f(χ)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3). 证明:(1)存在ξ1,ξ2∈(0,3),使得f′(ξ1)=f′(ξ2)=0. (2)存在ξ∈(0,3),使得f〞(ξ)-2f′(ξ
admin
2020-03-16
38
问题
设f(χ)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫
0
2
f(t)dt=f(2)+f(3).
证明:(1)存在ξ
1
,ξ
2
∈(0,3),使得f′(ξ
1
)=f′(ξ
2
)=0.
(2)存在ξ∈(0,3),使得f〞(ξ)-2f′(ξ)=0.
选项
答案
(1)令F(χ)=∫
0
χ
f(t)dt,F′(χ)=f(χ), ∫
0
2
f(t)dt=F(2)-F(0)=F′(c)(2-0)-2f(c),其中0<c<2. 因为f(χ)在[2,3]上连续,所以f(χ)在[2,3]上取到最小值m和最大值M, m≤[*]≤M, 由介值定理,存在χ
0
∈[2,3],使得f(χ
0
)=[*],即f(2)+f(3)=2f(χ
0
), 于是f(0)=f(c)=f(χ
0
), 由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0)[*](0,3),ξ
2
∈(c,χ
0
)[*](0,3),使得f′(ξ
1
)=f′(ξ
2
)=0. (2)令φ(χ)=e
-2χ
f′(χ),φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,3),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=e
-2χ
[f〞(χ)-2f′(χ)]且e
-2χ
≠0,故f〞(ξ)-2f′(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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