已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．

admin2016-10-26 51

问题已知A是2n+1阶正交矩阵，即AA^T=A^TA=E，证明：｜E—A²｜=0．

选项

答案由行列式乘法公式(1．10)，得｜A｜²=｜A｜.｜A^T｜=｜AA^T｜=｜E｜=1． (Ⅰ)如｜A｜=1，那么｜E—A｜=｜AA^T—A｜=｜A(A^T—E^T)｜=｜A｜.｜A一E｜=｜－(E一A)｜ =(一1)²ⁿ⁺¹｜E一A ｜=－｜E一A｜，从而｜E—A ｜=0． (Ⅱ)如｜A｜=一1，那么可由｜E+A｜=｜AA^T+A｜=｜A(A^T+E^T)｜=｜A｜.｜A+E｜=－｜E+A｜，得到｜E+A｜=0．又因｜E一A²｜=｜(E—A)(E+A)｜=｜E一A｜.｜ E+A｜，所以不论｜A｜是+1或－1，总有｜E一A²｜=0．

解析

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