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设f(x)=xsinx-(x-t)f(t)dt,其中f(x)连续,求f(x)·
设f(x)=xsinx-(x-t)f(t)dt,其中f(x)连续,求f(x)·
admin
2016-10-26
9
问题
设f(x)=xsinx-
(x-t)f(t)dt,其中f(x)连续,求f(x)·
选项
答案
将原方程改写为f(x)=xsinx-x[*]tf(t)dt. 因为f(x)连续,所以方程的右端是可微的,因而左端的函数f(x)也可微.两端对x求导,又原式中 令x=0,则原方程等价于 f′(x)=xcosx+sinx-[*]f(t)dt,f(0)=0. ① 同理,方程右端仍可微,所以f(x)存在二阶导数,再将①中的方程两边求导并令x=0,则得①等价于 f″(x)=-xsinx+2cosx-f(x),f′(0)=0,f(0)=0. 即y=f(x)满足微分方程的初值问题y″+y=-xsinx+2cosx,y(0)=0,y′(0)=0. ② 由于此方程的特征根为±i,所以其特解应具形式y
*
(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx.代入方程,求出系数A,B,C,D,则得其特解为y
*
(x)=[*]xsinx,进而方程的通解为 y=f(x)=[*]xsinx+C
1
cosx+C
2
sinx. ③ 由f(0)=0可知C
1
=0,而由f′(0)=0又可推出C
2
=0,所以f(x)=[*]xsinx.
解析
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考研数学一
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