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  3. 设f(x)=xsinx－(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)·

设f(x)=xsinx－(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)·

admin2016-10-26  1
问题 设f(x)=xsinx－(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)·
选项
答案将原方程改写为f(x)=xsinx－x[*]tf(t)dt． 因为f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(x)也可微．两端对x求导，又原式中 令x=0，则原方程等价于 f′(x)=xcosx+sinx－[*]f(t)dt，f(0)=0． ① 同理，方程右端仍可微，所以f(x)存在二阶导数，再将①中的方程两边求导并令x=0，则得①等价于 f″(x)=－xsinx+2cosx－f(x)，f′(0)=0，f(0)=0． 即y=f(x)满足微分方程的初值问题y″+y=－xsinx+2cosx，y(0)=0，y′(0)=0． ② 由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y*(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解为y*(x)=[*]xsinx，进而方程的通解为 y=f(x)=[*]xsinx+C1cosx+C2sinx． ③ 由f(0)=0可知C1=0，而由f′(0)=0又可推出C2=0，所以f(x)=[*]xsinx．
解析
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考研数学一

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