设f(x)是(一∞，+∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)=∫0xte－t2f(t)dt是(—∞，+∞)上的( )

admin2020-06-11 32

问题设f(x)是(一∞，+∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)=∫₀^xte^－t²f(t)dt是(—∞，+∞)上的( )

选项 A、有界偶函数。
B、无界偶函数。
C、有界奇函数。
D、无界奇函数。

答案A

解析首先讨论F(x)的奇偶性：
对任意的x∈(一∞，+∞)，有
F(一x)=∫₀^－xte^－t²f(t)dt，
令t=一μ，则
F(一x)=∫₀^xμe^－μ²f(－μ)dμ=∫₀^xμe^－μ²f(μ)dμ=F(x)，
故F(x)是(一∞，+∞)上的偶函数。
其次讨论F(x)的有界性：
因F(x)是(一∞，+∞)的偶函数，可只讨论x≥0时，F(x)的有界性。由于
｜F(x)｜=｜∫₀^xte^－t²f(t)dt｜≤∫₀^xte^－t²｜f(t)｜dt≤m∫₀^＋∞te^－t²dt=

∫₀^＋∞e^－t²d(t²)=

，
所以F(x)是(一∞，+∞)上的有界函数。故选(A)。

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考研数学二

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