2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证： (Ⅰ)存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η； (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．

设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证： (Ⅰ)存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η； (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．

admin2019-07-10  44
问题 设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证：
  (Ⅰ)存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η；
  (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．
选项
答案(Ⅰ)由题设，引入辅助函数φ(x)=x-f(x)，则φ(x)在[0，1]上连续，由已知条件f(1)=0及f(1/2)=1，知φ(1)=1-f(1)=1＞0且[*] ，所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点η∈(1/2，1)，使得φ(n)=0， 即η-f(η)=0，因此存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η，证毕． (Ⅱ)引入辅助函数，由原函数法将所需证明的等式中的ξ改写为x， 有f’(x)-λ[f(x)-x]=1，即f’(x)-λf(x)=1-λx． 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得： 所以[f(x)-x]e-λx=C，至此可令辅助函数为g(x)=[f(x)-x]e-λx=-φ(x)e-λx， 由已知条件及(I)中结论，知g(x)也是连续函数， 且g(0)=[f(0)-0]e0=0，g(η)=-φ(η)e-λη=0． 由罗尔定理知存在一点ξ(0，η)，使得g’(ξ)=0， 又g’(x)=-λe-λx[f(x)-x]+e-λx[f’(x)-1]， 所以-λ[f(ξ)-ξ]+f’(ξ)-1=0 此即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．证毕．
解析
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考研数学二

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