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  3. n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

admin2019-03-14  39
问题 n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的(    )
选项 A、充分必要条件．
B、充分而非必要条件．
C、必要而非充分条件．
D、既非充分也非必要条件．
答案A
解析 若，则有可逆矩阵P使P一1AP=AP=A，或AP=PA．令P=(γ1，γ2，…，γn)，即从而有Aγi=αiγi，i=1，2，…，n．由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．反之，若A有n个线性无关的特征向量α1,α2……αn，且满足Aαi=λiαi，i=1，2，…，n．那么，用分块矩阵有由于矩阵P=(α1,α2……αn)可逆，所以P一1AP=A，即A与对角矩阵A相似．所以应选A．
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考研数学二

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