设PQ为抛物线y＝x2／4的弦，且PQ在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

admin2021-08-31 12

问题设PQ为抛物线y＝x²／4的弦，且PQ在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

选项

答案令P(a，a²／4)，因为y＝x²／4关于y轴对称，不妨设a＞0． y’(a)＝a／2，过P点的法线方程为y－a²／4＝－2／a(x－a)，设Q(b，b²／4)，因为Q在法线上，所以b²／4－a²／4＝－2(b－a)／a，解得b＝－a－8／a． PQ的长度的平方为L(a)＝(b－a)²＋[(b²)－a²／4]²＝4a²(1＋4／a²)，由L’(a)＝8a(1＋4／a²)(1－8／a²)＝0得。A＝[*]为唯一驻点，从而为最小值点。故PQ的最小距离为[*]＝[*]．

解析

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考研数学一

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