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设PQ为抛物线y=x2/4的弦,且PQ在此抛物线过P点的法线上,求PQ长度的最小值.
设PQ为抛物线y=x2/4的弦,且PQ在此抛物线过P点的法线上,求PQ长度的最小值.
admin
2021-08-31
14
问题
设PQ为抛物线y=x
2
/4的弦,且PQ在此抛物线过P点的法线上,求PQ长度的最小值.
选项
答案
令P(a,a
2
/4),因为y=x
2
/4关于y轴对称,不妨设a>0. y’(a)=a/2,过P点的法线方程为y-a
2
/4=-2/a(x-a), 设Q(b,b
2
/4),因为Q在法线上,所以b
2
/4-a
2
/4=-2(b-a)/a,解得b=-a-8/a. PQ的长度的平方为L(a)=(b-a)
2
+[(b
2
)-a
2
/4]
2
=4a
2
(1+4/a
2
), 由L’(a)=8a(1+4/a
2
)(1-8/a
2
)=0得。A=[*]为唯一驻点,从而为最小值点。 故PQ的最小距离为[*]=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zyq4777K
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考研数学一
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