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设A为3阶实对称矩阵,且A2=4E,又tr(A)=2,且α=满足A*α=4α. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q使得二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形.
设A为3阶实对称矩阵,且A2=4E,又tr(A)=2,且α=满足A*α=4α. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q使得二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形.
admin
2021-03-10
86
问题
设A为3阶实对称矩阵,且A
2
=4E,又tr(A)=2,且α=
满足A
*
α=4α.
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求正交矩阵Q使得二次型f=X
T
AX经过正交变换化为标准形.
选项
答案
(Ⅰ)令AX=λX,由(A
2
-4E)X=(λ
2
-4)X=0且X≠0得λ
2
-4=0,即λ=-2或λ=2; 由tr(A)=2得A的特征值为λ
1
=-2,λ
2
=λ
3
=2; 由|A|=-8得A
*
的特征值为4,-4, 4, 由A
*
α=4α得α=[*]为矩阵A的属于特征值λ
1
=-2的特征向量. 令X=[*]为矩阵A的属于特征值λ
2
=λ
3
=2的特征向量, 因为A
T
=A,所以α
T
X=0,即x
1
+x
2
=0. 从而矩阵A的属于特征值λ
2
=λ
3
=2的线性无关的特征向量为α
2
=[*] 令P=[*],由P
-1
AP=[*]得[*] (Ⅱ)显然α=[*]两两正交, 所以令γ
1
=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zzy4777K
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考研数学二
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