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A是m×n矩阵,线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( ).
A是m×n矩阵,线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( ).
admin
2016-01-25
47
问题
A是m×n矩阵,线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( ).
选项
A、m=n且|A|≠0
B、导出组AX=0有且仅有零解
C、A的列向量组α
1
,α
2
,…,α
n
与α
1
,α
2
,…,α
n
,b等价
D、r(A)=n,且b可由A的列向量组线性表出
答案
D
解析
利用AX=b有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(
)=n去判别.
当m=n时,必有
r(A)=r(
),
因而必有解.又|A|≠0,即m=n=r(A),则AX=b必有唯一解.这也可由克拉默法则得知,但并不必要.当m≠n时,方程组也可能有唯一解.例如
AX=b有唯一解.
(C)是AX=b有唯一解的必要条件,并非充分条件,即两个向量组α
1
,α
2
,…,α
n
与α
1
,α
2
,…,α
n
,b等价是方程组AX=b有解的充要条件,是有唯一解的必要条件.例如
AX=b有解,但解不唯一.
(B)是AX=b有唯一解的必要条件,并非充分条件.因这时不能保证r(A)=r(
).如AX=0有非零解,则AX=b必没有唯一解,它可能有无穷多解,亦可能无解.当AX=0只有零解时,AX=b可能有唯一解,也可能无解,并不能保证必有唯一解.例如
AX=0仅有零解,而AX=b并无解.
(D)秩r(A)=n表明A的列向量组线性无关,因而如AX=b有解,则解必唯一.仅r(A)=n还不能保证r(A)=r(
),因而不能保证AX=b有解(参见(B)中反例),b可由A的列向量组线性表出是AX=b有解的充要条件,这两个条件结合才能保证
r(A)=r(
)=n.
因而它们才是AX=b有唯一解的充要条件.仅(D)入选.
注意 (B)、(C)均是必要条件,前者不能保证r(A)=r(
),因而不能保证AX=b必有解,后者不能保证AX=b的解唯一.A的列向量线性相关,AX=b绝对没有唯一解,列向量组线性无关最多有唯一解.
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考研数学三
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