《全日制普通高级中学教科书(必修).数学》第八章第一节《椭圆及其标准方程》是用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，在此基础上完成下列问题： (1)在学习本内容前，学生已具备了哪些相关知识和数学活动经验?

admin2017-05-24 63

问题《全日制普通高级中学教科书(必修).数学》第八章第一节《椭圆及其标准方程》是用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，在此基础上完成下列问题：
(1)在学习本内容前，学生已具备了哪些相关知识和数学活动经验?
(2)写出本内容的教学重点和教学难点。
(3)设计本内容的教学过程。

选项

答案(1)解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在之前的学习中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。之前学生已经具备了观察、操作、讨论等教学活动经验；分类活动经验；抽象、归纳的经验。 (2)教学重难点重点：椭圆的定义及标准方程，坐标法的基本思想；难点：椭圆标准方程的推导与化简。 (3)教学过程 (一)创设情境，认识椭圆。材料：对椭圆的感性认识，通过演示课前准备的生活中有关椭．圆的实物和图片，学生从感性上认识椭圆。引入课题：椭圆及其标准方程。 (二)动手实验，亲身体会。教师演示。引出研究思路。思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆。那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢?(学生分组试验) 试验一：用事先准备好的绳子，把它的两端都固定在同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个什么图形? 提问1：在整个过程中什么不变? 提问2：笔尖(动点)满足什么几何条件? 试验二：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F₁、F₂处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖(肘)，画出的又是什么图形?(教师巡视指导，展示学生成果) 分析实验，得出规律。提问1：在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的? 提问2：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有?说明了什么? 提问3：在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系? 提问4：改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么? 学生总结规律：｜MF₁｜＋｜MF₂｜＞｜F₁F₂｜轨迹为椭圆；｜MF₁｜＋｜MF₂｜＝｜F₁F₂｜轨迹为线段；｜MF₁｜＋｜MF₂｜＜｜F₁F₂｜轨迹不存在。 (三)总结归纳，形成概念。定义：平面内，到两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数(大于｜F₁F₂｜)的点的轨迹叫做椭圆。提问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示? 例题：边学边用。深化理解定义用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆? (1)到F₁(－2，0)、F₂(2，0)的距离之和为6的点的轨迹； (2)到F₁(0，－2)、F₂(0，2)的距离之和为4的点的轨迹； (3)到F₁(－2，0)、F₂(2，0)的距离之和为3的点的轨迹。 1．复习求曲线的方程的基本步骤： (1)建系；(2)设点；(3)列式；(4)化简；(由学生回答，不正确的教师给予纠正。) 2．如何选取坐标系? 教师分析椭圆，学生观察椭圆的几何特征(对称性)，如何建系能使方程更简洁? 学生讨论，经过比较确定方案：把F₁、F₂建在χ轴上，以F₁F₂的中点为原点，或者把F₁、F₂建在y轴上，以F₁F₂的中点为原点。 3．推导标准方程。选取建系方法，让学生动手，尝试推导。 (请两位同学上台同时演示两种建系方法并推导方程) 例如：以过F₁、F₂的直线为χ轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。设｜F₁F₂｜＝2c(c＞0)，点M(χ，y)为椭圆上任意一点，则P＝{M｜MF₁｜＋｜MF₂｜＝2a}(称此式为几何条件)， ∴得[*]＝2a(实现集合条件代数化)， (想一想：下面怎样化简?) [*] (1)教师为突破难点。进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子?对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢? 化简，得(a²－c²)χ²＋a²y²＝a²(a²－c²)。 (2)b的引入。由椭圆的定义可知，2a＞2c，∴a²－c²＞0。让点M运动到y轴正半轴上(如图)，由学生观察图形直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设b²＝a²－c²，于是得b²χ²＋a²y²＝a²b²，两边同时除以a²b²，得到方程：[*]＝1(a＞b＞0)(称为椭圆的标准方程)。同理：建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程。 4．相互比较，深化理解两种标准方程学生讨论：如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上? [*] 得出结论：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定(焦点在分母大的坐标轴上) 5．归纳概括．掌握特征。 (1)椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1； (2)椭圆标准方程中三个参数a，b，c的关系：b²＝a²－c²(a＞b＞0)； (3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。 (四)尝试应用。范例教学。例1．下列哪些是椭圆的方程，如果是。判断它的焦点在哪个坐标轴上?并指明a、b，写出焦点坐标。 [*] 例2．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 变式一：将上题焦点改为(0．－4)、(0，4)，结果如何? 变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何? 例3．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且经过点[*]。 (五)小结归纳、布置作业

解析

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