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设p>0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2眇交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H(H为圆心)。证明:抛物线顶点在圆H的圆周上。
设p>0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2眇交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H(H为圆心)。证明:抛物线顶点在圆H的圆周上。
admin
2014-12-22
46
问题
设p>0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y
2
=2眇交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H(H为圆心)。证明:抛物线顶点在圆H的圆周上。
选项
答案
证明: ①当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=2p,代入y
2
=2px得y
2
=4p
2
,y=±2p。所以|AB|=|y|-y2|=4p。显然,满足|OQ|=[*]|AB|,此时Q、H重合,所以点D在⊙H上。 ②若直线AB与x轴不垂直,则直线AB的斜率存在,设其倾斜角为α,则直线AB的方程为y=tanα(x-2p),[*]综上,可知O一定在⊙H上。
解析
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