设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。 试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,

admin2015-09-14  33

问题 设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T
试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?

选项

答案由于行列式|α1,α2,α3|=a+1,故当a≠一1时,方程组x1α1+x2α2+x3α3i(1,2,3)均有解(且有唯一解),即向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示;又因行列式|β1β2β3|=6≠0,同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示。所以,当a≠一1时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。当a=一1时,由于秩[α1,α2,α3]≠秩[α1,α2,α31],故方程组x1α1+x2α2+x3α31无解,即向量β1不能由向量组(Ⅰ)线性表示,所以此时向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。

解析
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