设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表： a1 a2 a3 …… an－1 an 第1行 a1+a2 a2+a3 …… an－1+an 第2行 …

admin2017-10-16 64

问题设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：
a₁ a₂ a₃ …… a_n－1 a_n 第1行
a₁+a₂  a₂+a₃ …… a_n－1+a_n 第2行
                           …                …                …
                                       …                …
                                                …                                        第n行
上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和，记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为b₁，b₂，…，b_n．
若a_k=2k一1(k=1，2，…，n)，求和

a_kb_k．

选项

答案由上问可知，b_k=b₁．2^k－1=[*]．2^k－1，故当a_k=2k一1时，b_k=n．2^k－1，∴a_k．b_k=n(2k一1)．2^k－1(1≤k≤n，k∈N^*)．于是[*](2k一1)．2^k－1．设[*](2k一1)．2^k－1=S，则S=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+(2n一1)．2^n－1将该式记为①， 2S=1×2¹+3×2²+…+(2n一3)．2^n－1+(2n一1)．2ⁿ，将该式记为② ①一②得，一S=1×2⁰+2(2¹+2²+…+2^n－1)一(2n一1)．2ⁿ，化简得，S=(2n一1)．2ⁿ一2^n＋1+3，故[*]a_kb_k=n(2n一1)．2ⁿ一n．2^n＋1+3n．

解析

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