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设数列{an}是有穷等差数列,给出下面数表: a1 a2 a3 …… an-1 an 第1行 a1+a2 a2+a3 …… an-1+an 第2行 …
设数列{an}是有穷等差数列,给出下面数表: a1 a2 a3 …… an-1 an 第1行 a1+a2 a2+a3 …… an-1+an 第2行 …
admin
2017-10-16
76
问题
设数列{a
n
}是有穷等差数列,给出下面数表:
a
1
a
2
a
3
…… a
n-1
a
n
第1行
a
1
+a
2
a
2
+a
3
…… a
n-1
+a
n
第2行
… … …
… …
… 第n行
上表共有n行,其中第1行的n个数为a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
,从第二行起,每行中的每一个数都等于它肩上两数之和,记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为b
1
,b
2
,…,b
n
.
若a
k
=2k一1(k=1,2,…,n),求和
a
k
b
k
.
选项
答案
由上问可知,b
k
=b
1
.2
k-1
=[*].2
k-1
, 故当a
k
=2k一1时,b
k
=n.2
k-1
,∴a
k
.b
k
=n(2k一1).2
k-1
(1≤k≤n,k∈N
*
). 于是[*](2k一1).2
k-1
. 设[*](2k一1).2
k-1
=S,则S=1×2
0
+3×2
1
+5×2
2
+…+(2n一1).2
n-1
将该式记为①, 2S=1×2
1
+3×2
2
+…+(2n一3).2
n-1
+(2n一1).2
n
,将该式记为② ①一②得,一S=1×2
0
+2(2
1
+2
2
+…+2
n-1
)一(2n一1).2
n
, 化简得,S=(2n一1).2
n
一2
n+1
+3, 故[*]a
k
b
k
=n(2n一1).2
n
一n.2
n+1
+3n.
解析
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