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  3. 设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．

设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．

admin2015-07-22  56
问题 设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．
选项
答案构造辅助函数F(x)=f(x)ex，由于f(x)可导，故F(x)可导，设x1和x2为f(x)的两个零点，且 x1＜x2，则F(x)在[x1，x2]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0． 由于eξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．
解析 f(x)的两个零点x1，x2(不妨设x1＜x2)之间有f(x)+f’(x)的零点问题，相当于在(x1，x2)内有f(x)+f’(x)=0的点存在的问题．若能构造一个函数F(x)，使F’(x)=[f(x)+ f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，则问题可以得到解决．由(ex)’=ex可以得到启发，令F(x)=f(x)ex．
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考研数学三

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