设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.

admin2015-07-22  52

问题 设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.

选项

答案构造辅助函数F(x)=f(x)ex,由于f(x)可导,故F(x)可导,设x1和x2为f(x)的两个零点,且 x1<x2,则F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(x1,x2),使得F’(ξ)=0,即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0. 由于eξ≠0,因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0.

解析 f(x)的两个零点x1,x2(不妨设x1<x2)之间有f(x)+f’(x)的零点问题,相当于在(x1,x2)内有f(x)+f’(x)=0的点存在的问题.若能构造一个函数F(x),使F’(x)=[f(x)+ f’(x)]φ(x),而φ(x)≠0,则问题可以得到解决.由(ex)’=ex可以得到启发,令F(x)=f(x)ex
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