求下列微分方程的通解： (Ⅰ)y’+=1； (Ⅱ)xy’+2y=sinx； (Ⅲ)ydx一2(x+y4)dy=0； (Ⅳ)y’+xsin2y=x3cos2y．

admin2017-10-23 32

问题求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)y’+

=1；
(Ⅱ)xy’+2y=sinx；
(Ⅲ)ydx一2(x+y⁴)dy=0；
(Ⅳ)y’+xsin2y=x³cos²y．

选项

答案(Ⅰ)这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程，利用求解公式，可得其通解为 [*] (Ⅱ)本题虽然是一阶线性微分方程，但不是用标准形式给出的．为采用积分因子法求解，可先把它化为标准形式，以便得到系数p(x)．求解过程如下：首先把方程化为标准形式y’+[*]=e^2lnx=x²，用x²同乘标准形式方程的两端，得(x²y)’=xsinx，积分可得通解 y=[*](C+sinx一xcosx)，其中C为任意常数． (Ⅲ)若将方程改写为[*]，则此方程不是线性方程．但是，若将方程改写为 [*] 则此方程为以y为自变量，x为未知函数的一阶线性方程．利用求解公式可得 x=[*]=y²(∫2y³．y^—2dy+C)=y²(y²+C)，即方程的通解为x=y⁴+Cy²，其中C为任意常数． (Ⅳ)将题设方程变形为线性微分方程的标准形式，可得 [*] 这是以z为未知函数的一阶线性微分方程，利用求解公式可得 [*] 于是方程的通解为y=arctan[[*]]，其中C为任意常数．

解析

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考研数学三

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求下列微分方程的通解： (Ⅰ)y’+=1； (Ⅱ)xy’+2y=sinx； (Ⅲ)ydx一2(x+y4)dy=0； (Ⅳ)y’+xsin2y=x3cos2y．

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求

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