2. 考研
  3. 考虑一个生产相同产品的双头垄断行业，两个企业的单位成本为常数，而且都为0。市场反需求函数为P(X)=10-X，其中X=x1+x2为总产量，x1和x2分别为企业1与企业2的产量。 (1)求伯特兰(Bertrand)模型中的市场均衡价格。 (2)求

考虑一个生产相同产品的双头垄断行业，两个企业的单位成本为常数，而且都为0。市场反需求函数为P(X)=10-X，其中X=x1+x2为总产量，x1和x2分别为企业1与企业2的产量。 (1)求伯特兰(Bertrand)模型中的市场均衡价格。 (2)求

admin2013-01-10  20
问题 考虑一个生产相同产品的双头垄断行业，两个企业的单位成本为常数，而且都为0。市场反需求函数为P(X)=10-X，其中X=x1+x2为总产量，x1和x2分别为企业1与企业2的产量。
   (1)求伯特兰(Bertrand)模型中的市场均衡价格。
   (2)求古诺(Cournot)模型中的均衡产量。
   (3)在古诺模型中，一个企业若想把竞争对手驱逐出市场，它至少应生产多少产品?
   (4)假设企业1是斯坦克尔伯格(Stacklberg)带头企业，企业2为追随企业，求斯坦克尔伯格模型中的市场均衡产量。
选项
答案寡头垄断市场又称寡占市场。在这种市场中，少数几家厂商完全控制整个市场的产品生产和销售，因此，寡头垄断厂商在制定产量和价格策略的时候不能不考虑竞争对手的反应。也就是说，为了追求自身利润的最大化，每一个厂商都必须仔细权衡竞争对手对自己所有可能行动的所有可能反应，据以做出自己的最优决策。可见，寡头垄断市场的均衡具有这样的特点：每一个寡头垄断厂商均在相互制衡中获得最大的本位利益。在博弈论中，这种相互制衡中的均衡被称为纳什均衡。 就本题来说，该产品市场仅有两个厂商从事生产，所以叫做双寡头垄断市场。任意产品的需求函数通常写为该产品的需求量关于其价格的函数式，而把其反函数式(即价格关于需求量的函数式)称为反需求函数。 寡头厂商的反应函数刻画的是给定竞争对手产量(或价格)策略的前提下，自己的最优产量(或价格)决策，也即自己的最优决策关于竞争对手给定决策的函数式。 通过各个厂商的反应函数就可以求得相应模型的均衡解。 (1)伯特兰模型是一个以价格为决策变量的寡头垄断市场模型。在该模型里，厂商同时决定他们的价格，然后由市场决定销售的数量。这些厂商被称为伯特兰竞争对手。 该模型通常隐含地假定两个厂商的产品有差异，这才有可能分别定价。例如假定厂商1和厂商2的产品标价分别为P1和P2，相应的需求函数分别为： x1=x1(P1，P2)=a1-b1P1+d1P2 x2=x2(P1，P2)=a2-b2P2+d2P1 再假定两个厂商均无固定成本，边际生产成本分别为c1和c2，则两个厂商的利润函数分别为： π1=x1P1-c1x1=(P1-c1)(a1-b1P1+d11P2) π2=x2P2-c2x22=(P2-c22)(a2-b2P2+d2P1) 进而有： [*] 此即伯特兰模型下两个厂商的均衡价格决策。 不过，就本题来说，根据题意，这两个厂商的产品无差异，从而不可能存在差别定价的问题，否则，制定较高价格的厂商就会完全失去市场。 这两个垄断厂商1与2的产品市场(反)需求函数为P(X)=10-X，其中X=x1+x2，为该寡头垄断市场的总需求量，x1和x2分别为垄断厂商1与2的产量。显然，这个市场需求函数应该是两个厂商各自产品需求函数加总的结果。假定这两个厂商各自的产品需求函数完全相同，则有： [*] 再考虑到两个企业的单位成本为常数，而且都为0，即这两个厂商生产单位产品的边际成本都是常数零，因此这两家企业的利润函数为： [*] 对上式关于P求一次导数，我们有5-P=0，进而有P=5。 可见，在不考虑竞争对手的反应(或两个企业勾结成为联盟)的前提下，如果两个厂商将价格确定为5，产量分别确定为5-1/2×5=2.5，即总产量为5，则两个厂商的利润将分别达到最大，即分别为5×2.5=12.5。这个结果也可以通过将两个企业作为一个整体，先求整体利润最多，然后再在两个企业间均分利润的方式获得。 不过，伯特兰模型属于不存在联盟的静态博弈模型，每一个厂商必须考虑竞争对手的反应。本题的特别之处就在于d1→∞以及d2→∞(而不是d1=0，d2=0)。可见，本题的伯特兰均衡解为P=5，x1=x2=2.5。 (2)古诺模型是一个寡头垄断厂商的产量决策模型。在古诺模型中，首先要确定出每个厂商的利润函数；然后分别关于每一个厂商的利润函数就各自的产量求一次导数，并均令之为零；最后便可分别整理出每一个厂商的产量关于其竞争对手产量的函数，此即相应厂商的反应函数。 两个厂商反应函数的交点就是这个寡头垄断市场的均衡位置，也就是该寡头垄断市场的纳什均衡解。可见，联立两个寡头垄断厂商的反应函数，即可解出两个厂商的均衡产量水平；而两个垄断厂商均衡产量的总和就是该寡头垄断市场的均衡产品供给数量；将这个市场均衡供给数量代入市场需求函数就可以得出该寡头垄断市场的市场均衡价格。 就本题来说，这两家企业的利润函数为： πi(xj)=xiPi=(10xi-xj)，i=1，2，j≠i=1，2 对上式关于xi，i=1，2求一次导数，并令之为零，我们有： 10-2xi-xj=0，i=1，2，j≠i=1，2。此即两个厂商的反应函数。进而有： [*] 解之得：10/3，i=1，2 可见，在古诺模型下，两个厂商的均衡产量相同，均为10/3；而市场均衡产量为20/3，均衡价格为P(X)=10-20/3=10/3。两个厂商的利润分别是10/3×10/3=11.11。 连续策略空间下的古诺模型与有限策略空间下的囚徒困境同样存在着个体理性与集体理性之间的矛盾。也就是说，上述纳什均衡解是在假定两个垄断厂商之间不存在联合或串通的前提下，每一个厂商在相互制约中追求自身最大化利益的结果。实际上，如果两个厂商串通起来结成联盟，协商压低产量，则各自的利润都会在纳什均衡解的基础上进一步提高。例如，假定两个企业作为整体的利润函数为P(x)，则有： P(x)=XP=(10-x)x 对上式求一次导数，并令之为零，得： [*] 解之得：x=5 然后假定两个企业协商均分这个最优的市场份额，即x1=x2=2.5，则两个企业的利润将分别为xiP(x)=2.5×(10-2.5)=12.5，其中i=1，2。可见，纳什均衡解不一定就是帕累托最优解。 (3)由于两个厂商的边际成本均为零，所以在完全竞争的背景下，该市场的供给函数也为取值为零的常数。因此，该市场的完全竞争均衡供求数量为10。这也就是该市场的最大容量。 若在古诺模型下假定存在n个寡头垄断厂商，则第i个企业的利润函数为： [*] 可见，在一个包含n个寡头垄断厂商的古诺模型里，均衡市场供给量为10n/(n+1)；任意寡头垄断厂商的均衡产量为10/(n+1)，均衡价格为10/(n+1)。而当n→∞的时候，x→10；xi→0。这个时候的寡头垄断市场其实已经蜕变成完全竞争市场了。 若假定某个企业把竞争对手全部驱逐出市场，并且人为杜绝其他厂商重新进入该市场，则该完全垄断市场的反需求函数也就成为该唯一幸存企业的反需求函数，该完全垄断企业的利润函数为： π=PX=(10-X)X 对该利润函数关于产量求一次导数，有： 10-2X=0 X=5 需要指出的是，若不存在人为阻碍，则当唯一幸存企业的产量为5的时候，其他企业仍会返回该行业获得一部分利润，从而使得幸存企业不再具有完全垄断地位。 例如，在厂商1的产量为5，产品价格也为5的情况下，厂商2若返回该行业，并将其产量设定为： x2=5-0.5P=5-0.5×5=2.5 则其利润为：π2=x2×P=2.5×[10-(5+2.5)]=6.25 这个时候，厂商1的利润也不再为25，而是下降为：π1=x1×P=5×[10-(5+2.5)]=12.5。 因此，厂商1应该在已知厂商2的产量为2.5，产品市场价格为10-(5+2.5)=2.5的前提下将自己的产量调整为：5-0.5P=5-0.5×2.5=3.75 这个时候的价格变成10-(2.5+3.75)=3.75，所以厂商2又将自己的产量调整为：5-0.5P=5-0.5×3.75=3.125。 以此类推。 可见，在双寡头垄断市场中，厂商1若要单凭产量决策将另一个厂商2永久地驱逐出该市场，其产量水平必须满足下列条件： [*] 解之得： x1=10 x2=0 因此，企业1若想把竞争对手驱逐出市场，它的产量必须等于10。 (4)在古诺模型和伯特兰模型里，寡头垄断厂商在市场上的地位是平等的，它们的行为是对称的，决策是同时实施的。因此，当企业1在进行决策时，它并不知道企业2的决策。反之亦然。可见，古诺模型和伯特兰模型都是静态博弈模型。 但事实上，在有些市场，竞争厂商之间的地位并不是对称的，市场地位的不对称引起了决策次序的不对称，通常，小企业先观察到大企业的行为，再决定自己的对策。德国经济学家斯塔克尔伯格建立的模型就反映了这种不对称的竞争。可见，斯塔克尔伯格模型是动态博弈模型。 该模型假定：随从厂商(就本题来说就是厂商2)的行为如同古诺模型里的一样，把领导厂商(就本题来说就是厂商1)的产量看做是固定的。领导厂商知道追随厂商一定会对他的产量做出反应，因而当他在确定产量时，把追随厂商的反应也考虑进去了。也就是说，领导厂商在决定其最优产量时，把追随厂商的反应函数看做是给定的，而不是以他们的产量为给定的。因此这个模型也被称为“主导企业模型”。 在斯塔克尔伯格模型中，厂商之间存在着行动次序的差异。产量决定的次序如下：领导性厂商决定一个产量，然后，假定跟随厂商可以观察到这个产量，并根据领导性厂商的产量来决定自己的产量。同时，领导性厂商在决定自己的产量的时候，也充分了解跟随厂商会如何行动，即领导性厂商知道跟随厂商的反应函数。这就意味着，领导性厂商能预期到自己决定的产量对跟随厂商的影响。正是在考虑到这种影响的情况下，领导性厂商所决定的产量将是一个以跟随厂商的反应函数为约束的利润最大化产量。因此，在斯塔克尔伯格模型中，领导性厂商不再需要根据自己的反应函数来确定自己的最优产量。 与古诺模型相比，斯塔克尔伯格领导厂商比古诺厂商的产量高，而追随厂商的产量则低于古诺厂商的产量。他们的利润水平也有类似的关系。 就本题来说，厂商2将根据所观察到的厂商1的产量来确定自己的最优产量，即厂商2的反应函数为x2=f(x1)。而且厂商1也知道，自己一旦选择了一个产量，厂商2就会形成与之相应的反应函数。 两个厂商的利润函数分别为： π1=TR1+TC1=[10-(x1+x2)]x1 π2=TR2-TC2=[10-(x1+x2)]x2 厂商2根据观察到的x1确定自己最优的产量，因此，厂商2实现利润最大化的必要条件为： [*] 所以，两个厂商的均衡产量为(5，2.5)，而市场均衡供给总量为7.5，市场均衡价格为P=10-7.5=2.5。 可见，在斯坦克尔伯格模型中，市场总产量比古诺模型多，所以价格就较低。
解析
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