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  3. 求解差分方程3yx+1一9yx=x．3x+1．

求解差分方程3yx+1一9yx=x．3x+1．

admin2016-12-16  53
问题 求解差分方程3yx+1一9yx=x．3x+1．
选项
答案先将方程化为标准方程 yx+1一3yx=x．3x ， ① 其特征方程为λ一3=0．得λ=3．故齐次方程的通解为 [*]=C3x ，C为任意常数， 由于非齐次项的底数为b=3，b=3是特征根，故可设方程①的特解为 yx*=x(A0+A1x)．3x ， 代入方程①得 (x+1) [A0+A1(x+1)]．3x+1—3x(A0+A1x)．3x=x．3x ， 整理并比较两端同次幂的函数，得 [*] 解得 A0=一1/6，A1=1/6． 故一个特解为 yx*=x(一1/6+x/6)．3x ， 原方程的通解是(显然，①与原方程同解) yx=[*]+y*=Cx+x(一1/6+x/6)．3x． 注意 对形如yx+1一ayx=f(x)的一阶线性差方方程，求其通解的关键是求出其特解yx*．其通解求法步骤如下： (1)求解特征方程λ一a=0，得到对应的齐次差方方程yx+1一ayx=0的通解[*]=Cax ，其中C为任意常数； (2)依据非齐次项f(x)的结构特点，先设出特解形式，为方便计，称b为f(x)的底数再用待定系数法求之： ①若f(x)=Axn(=Axn．1x)，则 [*] ②若f(x)=Abx ，则yx*=[*] ③若f(x)=xnbx ，则yx*=[*] 设出特解yx*的形式后，再将其代入非齐次方程，比较两端同次幂的系数，确定B0 ，B1 ，…，Bn即得该非齐次差分方程的一个特解yx*．
解析 将所给方程化为标准差分方程得到
yx+1一3yx=x．3x．
关键在于正确写出特解形式．因特征方程为λ一3=0，故特征根为λ=3，与底数b=3相等，故该特解形式为
yx*=x(A0+A1x)．3x．
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考研数学三

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