设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导. (Ⅰ)若f(a)=0,f(b)<0,f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)(ξ)+f’2(ξ)=0. (Ⅱ)若f(a)=f(b)=f(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得(η)=

admin2016-03-26  33

问题 设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导.
(Ⅰ)若f(a)=0,f(b)<0,f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)(ξ)+f’2(ξ)=0.
(Ⅱ)若f(a)=f(b)=f(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得(η)=f(n).

选项

答案(I)因为[*](a)>0,所以存在c∈(a,b),使得f(c)>f(a)=0,因为f(c)f(b)<0,所以存在x0∈(c,b),使得f(x0)=0.因为f(a)=f(x0)=0,由罗尔定理,存在x1∈(a,x0),使得f’(x1)=0. 令φ(x)=f(x)f’(x),由φ(a)=φ(x1)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(a,x1)[*](a,b),使得 φ’(ξ)=0.而φ’(x)=f(x)[*](x)+f’2(x),所以f(ξ)[*](ξ)+f’2(ξ)=0. (Ⅱ)令F(x)=[*]f(t)dt,因为F(a)=F(b)=0,所以由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得F’(c)=0,即f(c)=0. 令h(x)=exf(x),由h(a)=h(c)=h(b)=0,根据罗尔定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0,则h’(x)+f’(x)],所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0,f(ξ2)+f’(ξ2)=0. 再令G(x)=e-x[f’(x)+f’(x)],由G(ξ1)一G(ξ2)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得G’(η)=0,而G’(x)=e-x[[*](x)一f(x)]且e-x≠0,所以[*](η)=f(η).

解析
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