2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导． (Ⅰ)若f(a)=0，f(b)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)(ξ)+f’2(ξ)=0． (Ⅱ)若f(a)=f(b)=f(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得(η)=

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导． (Ⅰ)若f(a)=0，f(b)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)(ξ)+f’2(ξ)=0． (Ⅱ)若f(a)=f(b)=f(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得(η)=

admin2016-03-26  63
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
(Ⅰ)若f(a)=0，f(b)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)(ξ)+f’2(ξ)=0．
(Ⅱ)若f(a)=f(b)=f(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得(η)=f(n)．
选项
答案(I)因为[*](a)＞0，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因为f(c)f(b)＜0，所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f’(x1)=0． 令φ(x)=f(x)f’(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)[*](a，b)，使得 φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)[*](x)+f’2(x)，所以f(ξ)[*](ξ)+f’2(ξ)=0． (Ⅱ)令F(x)=[*]f(t)dt，因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F’(c)=0，即f(c)=0． 令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，则h’(x)+f’(x)]，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ2)=0． 再令G(x)=e－x[f’(x)+f’(x)]，由G(ξ1)一G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得G’(η)=0，而G’(x)=e－x[[*](x)一f(x)]且e－x≠0，所以[*](η)=f(η)．
解析
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考研数学三

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