2. 考研
  3. 设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对(a≤x≤b)满足 f’’(x)+g(x)f’(x)-f(x)=0． 求证：当x∈[a，b]时f(x)≡0．

设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对(a≤x≤b)满足 f’’(x)+g(x)f’(x)-f(x)=0． 求证：当x∈[a，b]时f(x)≡0．

admin2016-10-20  69
问题 设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对(a≤x≤b)满足
    f’’(x)+g(x)f’(x)-f(x)=0．
求证：当x∈[a，b]时f(x)≡0．
选项
答案若f(x)在[a，b]不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值． 无妨设f(x0)=[*]，则x0∈(a，b)且f’(x0)=0，f’’(x0)≤0，从而f’(x0)+g(x0)f’’(x0)-f(x0)＜0，与已知条件矛盾．类似可得若f(x1)=[*]，同样与已知条件矛盾．因此当x∈[a，b]时f(x)≡0．
解析
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考研数学三

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