2. 考研
  3. 求f(x，y)=x2－y2+2在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值．

求f(x，y)=x2－y2+2在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值．

admin2022-06-08  53
问题 求f(x，y)=x2－y2+2在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值．
选项
答案求f(x，y)x2－y2+2在区域D={(x，y)|x2+[*]≤1}上的最值应分两种情形考虑：在椭圆域D的内点考虑无约束极值问题；在椭圆域D的边界考虑条件极值问题． 解法1考查f(x，y)=x2－y2+2在区域x2+[*]＜1内的极值． 令 [*] 解得x=0，y=0，即f(x，y)在x2+[*]＜1内有唯一驻点(0，0)． 在x2+[*]=1上，记y2=4－4x2，因此有 f(x，y)=x2－(4－4x2)+2=5x2－2，－1≤x≤1， 令df／dx=10x=0，得x=0．当x=0时，y=±2；当x=±1时，y=0． 所以f(±1，0)=3，f(0，±2)=－2． 又f(0，0)=2， 因此f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2． 解法2在区域x2+[*]＜1内解法同解法1． 在椭圆x2+[*]=1上，利用拉格朗日乘数法求极值．设 L=x2－y2+2+λ(x2+[*]－1)， 由 [*] 解得4个可能的极值点M1(0，2)，M2(0，－2)，M3(1，0)，M4(－1，0)．所以 f(M1)=－2，f(M2)=－2，f(M3)=3，f(M4)=3， 可知f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2．
解析
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经济类联考综合能力

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