2. 自考
  3. 计算zdxdy＋zdydz，其中∑是圆柱面x2＋y2＝1被z＝0和z＝3所截得部分的外侧．

计算zdxdy＋zdydz，其中∑是圆柱面x2＋y2＝1被z＝0和z＝3所截得部分的外侧．

admin2021-11-08  43
问题 计算zdxdy＋zdydz，其中∑是圆柱面x2＋y2＝1被z＝0和z＝3所截得部分的外侧．
选项
答案原积分＝[*] 由于曲面∑(如下图所示)与xOy面垂直，所以∑在xOy面上投影 的面积为零，故[*]zdxdy＝0． [*] 下面计算曲面积分[*]xdydz．将∑分成前后两片：∑＝∑1＋∑2，由∑的方程x2＋y2＝1(0≤x≤3)得，∑1的方程为x＝[*](－1≤y≤1)；∑2的方程为x＝－[*](－1≤y≤1)．∑1和∑2在yOz面上的投影均为矩形区域Dyz：－1≤y≤1，0≤z≤3．由于∑1和∑2的法向量分别指向其投影坐标面yOz面的上、下方，故化为二重积分时分别取正号和负号．于是 [*] 其中由定积分的几何意义得 [*]．
解析
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