2. 考研
  3. 已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________.

已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________.

admin2015-04-30  86
问题 已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________.
选项
答案y"一y’一2y=(1—2x)ex．
解析 y1—y2=e2x—e-x，y1一y3=e-x都是相应齐次方程的解．
    而(y1一y2)+(y1—y3)=e2x也是齐次方程的解，e2x与e-x是两个线性无关的解，而y2=xex+e-x是非齐次方程的解，从而)y2一e-x=xex也是非齐次方程的解，由e-x，e2x是齐次方程的解，可知特征根r1=一l，r2=2，特征方程为(r+1)(r一2)=0，即r2一r-2=0．设所求非齐次方程为y"一y’一2y=f(x)．将非齐次解xex代入，得
    f(x)=(xex)"一(zex)’一2xex=(1—2x)ex
    故所求方程为  y"一y’一2y=(1—2x)ex．
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考研数学三

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