设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

admin2022-06-15 66

问题设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’_y(x，y)≠0．已知(x₀，y₀)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

选项 A、若f’_x(x₀，y₀)=0，则f’_y(x₀，y₀)=0
B、若f’_x(x₀，y₀)=0，则f’_y(x₀，y₀)≠0
C、若f’_x(x₀，y₀)≠0，则f’_y(x₀，y₀)=0
D、若f’_x(x₀，y₀)≠0，则f’_y(x₀，y₀)≠0

答案D

解析由于φ(x，y)可微，且φ’_y(x，y)≠0，由隐函数存在定理可知由φ(x，y)=0可以确定可导函数y=y(x)．因此求f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值等价于求f[x，y(x)]的极值．可知点(x₀，y₀)为f[x，y(x)]的极值点．由于f[x，y(x)]可微，因此必定有

=f’_x[x，y(x)]+f’_y[x，y(x)]．y’(x)．
由隐函数求导公式可知
y’(x)=－φ’_x(x，y)／φ’_y(x，y)，
从而

则
f’_x(x₀，y₀)－f’_y(x₀，y₀)．

=0．
若f’_x(x₀，y₀)≠0，由上式可知f’_y(x₀，y₀)≠0．故选D．

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经济类联考综合能力

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