2. 公务员
  3. 已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． 设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=一3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q． ①证明：DT平分线段PQ(其中O为坐标原点)； ②当最小时，求点T的坐标．

已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． 设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=一3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q． ①证明：DT平分线段PQ(其中O为坐标原点)； ②当最小时，求点T的坐标．

admin2017-10-16  0
问题 已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=一3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：DT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
选项
答案①证明：由上问可得，F的坐标是(一2，0)，设T点的坐标为(一3，m)， 则直线TF的斜率kTF=[*]=一m． 当m≠0时，直线PQ的斜率率kPQ=[*]，直线PQ的方程足x=my一2． 当m=0时，直线PQ的方程是x=一2，也符合x=my一2的形式． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得[*] 消去x，得(m2+3)y2一4my一2=0， 其判别式△=16m2+8(m2+3)＞0． 所以y1+y2=[*]， x1+x2=m(y1+y2)一4=[*]． 所以PQ的中点M的坐标为[*]． 所以直线OM的斜率kOM=[*]． 又直线OT的斜率kOT=[*]，所以点M在直线OT上， 因此OT平分线段PQ． ②解：由①可得， [*] 所以当[*]最小时，T点的坐标是(一3，1)或(一3，一1)．
解析
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