设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数. 证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;

admin2016-09-30  44

问题 设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数.
证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;

选项

答案S1(c)=S2(c),S2(c)=∫c1(t)df=一∫1tf(t)dt,即证明S1(c)=S2(c),或cf(c)+∫1cf(t)dt=0.令φ(x)=x∫1xf(x)dt,φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得φ’(c)=0,即cf(c)+∫1cf(t)dt=0,所以S1(c)=S2(c),命题得证.

解析
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