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设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数. 证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;
设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数. 证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;
admin
2016-09-30
96
问题
设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数.
证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;
选项
答案
S
1
(c)=S
2
(c),S
2
(c)=∫
c
1
(t)df=一∫
1
t
f(t)dt,即证明S
1
(c)=S
2
(c),或cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0.令φ(x)=x∫
1
x
f(x)dt,φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得φ’(c)=0,即cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0,所以S
1
(c)=S
2
(c),命题得证.
解析
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考研数学三
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