设f(x)是[0，+∞)上的连续函数，且满足f(x)=xe-x+ex∫01f(x)dx，则f(x)等于( )．

admin2015-09-06 59

问题设f(x)是[0，+∞)上的连续函数，且满足f(x)=xe^-x+e^x∫₀¹f(x)dx，则f(x)等于( )．

选项 A、xe^-x+

B、xe^-x一

C、xe^-x一e^x-1
D、xe^x+e^x-1

答案C

解析令∫₀¹f(x)dx=A．
原方程两边在区间[0，1]上积分，得
  ∫₀¹d(x)dx=∫₀¹xe^-xdx+A∫₀¹e^xdx．
因为
  ∫₀¹xe^-xdx=一xe^-x|₀¹+∫₀¹e^-xdx=一2e^-x+1，
  ∫₀¹e^xdx=e一1，
所以
A=一2e^-1+1+Ae—A，

f(x)=xe^-x—e^x-1．

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